Wiskundig denken: denkactiverende opdrachten maken

5

Onlangs bespraken we op Onderwijs van Morgen wat wiskundig denken is en welke kernactiviteiten er kenmerkend voor zijn. Dit artikel gaat verder en slaat een brug naar de dagelijkse onderwijspraktijk. Want hoe weet je of een opdracht aanzet tot wiskundig denken? En hoe ontwikkel je zelf zulke opdrachten?

Dit artikel betreft een beknopte samenvatting van de handreiking ‘Denkactiverende wiskundelessen’. Deze handreiking is tot stand gekomen binnen het praktijkgerichte onderzoek ‘Wiskundige denkactiviteit in praktijk’ en is te downloaden via de website van Universiteit Utrecht.

Wiskundig denken gaat over bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken. Daarbij is het probleem vaak een niet-standaard opgave waar geen kant-en-klare oplossing voor is. Om tot een oplossing te komen, dienen kenmerkende vaardigheden als probleemoplossen, modelleren en abstraheren – de kernactiviteiten van wiskundig denken – te worden ingezet. Als u weet over welke kenmerken opdrachten bij deze vaardigheden beschikken, wordt het makkelijker om deze op te zoeken en/of zelf te ontwikkelen.

Kenmerken
De vaardigheid ‘probleemoplossen’ krijgt in de praktijk de meeste aandacht. Kenmerken van opdrachten die hiertoe uitdagen zijn: niet-routine en -triviaal, er zit een verrassingselement in, er zijn meerdere oplossingsstrategieën mogelijk, de opdracht zet aan tot discussie en er wordt gereflecteerd op de aanpak. Een opgave die een beroep doet op ‘modelleren’ bevat doorgaans een model. Leerlingen kunnen de kenmerken ervan onderzoeken, modellen met elkaar vergelijken of er zelf een kiezen, maken of aanpassen. De context van de opgaven dient herkenbaar en geloofwaardig te zijn. In opgaven die aanzetten tot ‘abstraheren’ wordt aan de hand van voorbeelden een algemene regel of patroon gegeneraliseerd en een wiskundig concept of methode gevormd. Vaak delen leerlingen hierbij gegevens in categorieën in.

Tips
Omdat wiskundig denken relatief is – een bepaalde opdracht vraagt nou eenmaal meer denkwerk van de een dan van de ander – is het belangrijk om denkactiverende opdrachten te zoeken of ontwikkelen die aansluiten bij het niveau en de verschillen tussen leerlingen. Bedenk eerst waar de leerlingen nu staan en welk doel u met ze wilt bereiken. Op basis daarvan kunt u op zoek gaan naar geschikte opdrachten. Op pagina 11 van de handreiking vindt u bronnen die u hierbij kunt raadplegen.

Bestaande opdrachten kunnen relatief makkelijk worden aangepast om leerlingen sneller aan te zetten tot wiskundig denken. Bijvoorbeeld door een gesloten vraag te vervangen voor een open probleemstelling, of door ervoor te zorgen dat meerdere aanpakken en antwoorden mogelijk zijn. Kijk daarbij kritisch naar de context: deze dient interessant te zijn en vragen op te roepen. Vergeet ook niet te variëren in werkvormen. Stel bijvoorbeeld eens een omkeervraag (Dit is het antwoord, wat was de vraag?), laat leerlingen drogredeneringen ontkrachten of zelf eens een (toets)opgave bedenken.

In de wiskundemethode MathPlus zitten ook veel denkactiverende opgaven die onder andere probleemoplossen, mathematiseren, modelleren en redeneren centraal stellen. Een aantal voorbeeldopgaven kunt u hier downloaden.

Tijd en timing
Wiskundig denken neemt de nodige tijd in beslag. Als docent bent u waarschijnlijk meer tijd kwijt aan de voorbereiding van de les en leerlingen zijn langer bezig met de opgaven. Denken kost nu eenmaal meer tijd dan reproduceren. Al levert het doorgaans wel meer op, waardoor het wellicht niet altijd meer nodig is om alle opdrachten te maken. Dat scheelt juist weer tijd. Om hier goed mee om te kunnen gaan, is het belangrijk om uw leerlingen goed te kennen. Zo weet u het beste wanneer u een opgave of vraag kunt voorleggen. De juiste timing is essentieel om te komen tot wiskundig denken. Vergeet ook niet om ‘denktijd’ in te plannen. Het kost namelijk de nodige tijd om leerlingen aan het denken te zetten. Dat kunt u doen door vragen te stellen als ‘Wat weten we?’ of ‘Wat wil je gaan doen?’. Benadruk daarbij dat leerlingen eerst een plan van aanpak moeten bedenken.

Meer weten?
In de handreiking ‘Denkactiverende wiskundelessen’ kunt u verder lezen over bovenstaande onderwerpen. Ook andere aspecten van wiskundig denken – zoals het begeleiden van groepswerk, klassengesprekken en het maken van toetsen – komen in de reader aan bod.

Bron: Bor-de Vries, M., & Drijvers, P. H. M. (2015). Handreiking denkactiverende wiskundelessen (Universiteit Utrecht)

5 REACTIES

  1. Onder https://www.leraar24.nl/dossier/6100#tab=0 schrijft Ben Wilbrink:

    De term denkactiviteit is een oxymoron. Dus ook wiskundige denkactiviteit. Het 19e eeuwse idee was dat Latijn en wiskunde nuttig zijn om te leren denken. Dat idee stemt overeen met de faculteitenpsychologie van die tijd (de hersenen als een verzameling denkspieren) die je dus kunt oefenen. Kundig overhoop geschoffeld door psycholoog Edward L. Thorndike, rond de eeuwwisseling. Met in de VS het verdwijnen van het vak Latijn tot gevolg. Onkruid vergaat niet, in de huidige hype van vaardigheden van de 21e eeuw komen die generieke vaardigheden weer terug. Maar helaas, die generieke vaardigheden bestaan niet. De vraag is dan: hoe zit het met dat wiskundig denken, is dat puur wiskunde, of is dat generiek denken? De wiskundige denkactiviteiten maken er een potje van. Voor wie dit allemaal te veel wordt: lees vooral het recent uitgekomen boek door Ericsson en Pool.

  2. Eerst hebben de wiskunde-vernieuwers het denken uit het wiskundeonderwijs gesloopt (wiskunde mag niet meer abstract zijn, van procedures wordt telkens ten onrechte beweerd dat leerlingen ze toepassen zonder na te denken; overmatige inzet van de grafische rekenmachine, leerlingen moeten vooral weten welke toetsen ze moeten indrukken, inzicht hebben in sinus, wortel etc. loont zich niet meer; abc-formule , Pythagoras, cosinusregel, het komt allemaal zo uit de lucht vallen, er wordt niets meer bewezen). Drijvers is de grote stimulator op het Freudenthal Instituut van de grafische rekenmachine. En nu wordt dan het denken weer ingevoerd volgens de gedachte dat problem-solving en creativiteit iets is dat geleerd kan worden, en wel zonder dat je je met procedures bezighoudt, Paul Drijvers haalt het aan: “It’s about thinking, not learning new math techniques”. Problem-solving leer je juist door met (serieuze) wiskunde bezig te zijn, dus ook met procedures, je kunt het stimuleren door goede opgaven te kiezen, vroeger was dat alles heel normaal. We lopen Canada en de VS achterna. Vernieuwers hebben daar al jaren vrij spel, er wordt absoluut niet geluisterd naar kritische ouders en docenten. En zelfs de eenvoudigste reken- of wiskundetechnieken worden door studenten al niet meer beheerst.

  3. Hebben jullie niet de ervaring dat leerlingen wiskunde als een losstaand vak zien? Wiskunde is wiskunde, buiten dat specifieke lokaal (of groepen lokalen) is wiskunde niet bestaand en kun je het niet gebruiken, is een beetje de opvattingen van mijn leerlingen (ik geef nog op de traditionele manier les).
    Ik probeer hen wiskunde in het leven te laten zien, of alleen al in andere vakken, maar zolang ik wiskunde alleen uit het boek geef, merk ik meer en meer dat ze dit niet zien.
    Het kan idealistisch zijn, maar ik hoop een andere manier van les geven hierin te vinden, waarbij leerlingen wiskunde ontdekken (in plaats van overnemen van mij), zichzelf kunnen beargumenteren met bewijs (of het bewijs van anderen) en hiermee leren werken (ik denk nu op havo/vwo niveau).
    Ik ben iemand die beide kanten belangrijk vind (ook de rekentechnieken waar mijn collega het hierboven over heeft). Vooral omdat ik denk dat hiermee getalbegrip na verloop van tijd beter binnen komt. Maar is dit alles wat wiskunde is? Een vak die we op school geven en die leerlingen achterlaten op school? Dat is iets wat vooral IK niet wil.

  4. @wiskundedocente
    Natuurlijk is het heel nuttig om leerlingen toepassingen van de behandelde wiskundestof te laten zien.
    Aan wiskundelessen voor VMBO-leerlingen moet men ook andere eisen stellen dan aan wiskundelessen voor VWO-leerlingen met N&T-profiel. Studenten die aan een technische studie beginnen hebben op de TU al meteen te maken met een flinke achterstand en bijspijkercursussen. Deze groep is veel meer gebaat bij serieuzere wiskunde. En wiskunde leer je echt niet zonder oefenen.
    De bewering van Paul Drijvers dat je het wiskundig denken kunt leren, zonder je te verdiepen in de voor een probleem specifieke wiskundestof, klopt niet. De denkactieve punten die hij noemt, zoals problem-solven, modelleren, abstraheren, kom je tegen bij de studie van ieder wiskunde-onderdeel, daar heb je geen afzonderlijke wiskundige denkactiviteiten voor nodig.

    Lesboeken (G&R) bevatten teveel contextopgaven. Het merendeel van deze opgaven hebben ofwel weinig met de realiteit van doen ofwel ze bevatten blunders ofwel men geeft formules die niet kloppen, ze zijn onbetrouwbaar.

LAAT EEN REACTIE ACHTER

Please enter your comment!
Please enter your name here